質問拝見させて頂きました。
親戚と言えど、子供にとっては親しくもない相手であり、その人間関係の図を大人思考で求めてみても、苦手な子は苦手としか言いようがないかなと考えます。
また、挨拶が出来ない、急にいつもの挨拶や会話が特定の状況で出来なくなる場合において、お子さんによっては極度の緊張に陥る、または場面緘黙であったなど、現在様々な要因はあると言われてもいますね。

一般的に、子供の年齢が上がるにつれ、大人は子供から理由を聞き出す事が少なくなり、年齢相応の振る舞いだけを求める傾向があり、その対応ではどうしても改善は難しくもありますので、まず、お子さんにおいてどうして挨拶を嫌がるのかなどしっかり本人が感じる状況を聞き出してみてはと思います。
そのうえで、しっかり話し合い、今後を含めた指導を持ちかけてみては如何でしょうか？

お子さんの感じる思いによって、指導も異なりますので、まずはしっかりお子さんと話し合いをと思います。