現在離職して転職活動中です。
希望条件の求人が軒並み書類や一次で落ちていく中、１社だけ実習まで残りました。
そして実習中に面接と適性検査を行う方式です。
さらに実習後に日を改めて最終面接を行います。

３人採用の枠に１０人が実習までたどり着いた場合、突破のカギはあるのでしょうか？

実習中の面接と適性検査の結果次第、総合的な判断で、採用不採用を人事や現場担当部局などが決めると思います。
３人の枠にたとえ応募が定員割れの１人だろうと、２人だとしても、あなたがその会社での採用基準をクリアできなかったら、不採用になると思います。

その職場が即戦力を求めているなら、求人票の「必要な経験・知識・技能等」が、たとえ「不問」と書いてあっても、応募者の中で即戦力としてガンガン働いて活躍できる人を選ぶだろうし。

若さ求めてます、明るく元気良い人、できれば新卒のフレッシュな新人を。
という職場なら、「未経験可」とか書いてあるでしょうし。

３人採用が、業務拡大なのか、時期的な増員なのか（大阪万博やらの期間限定の長期イベントスタッフみたいな）
いまの社員が定年でやめるから欠員補充なのか、いれかわり激しいから複数採用なのか（３人入って数か月で２人やめるみたいな）
新規の店オープンなのか、
なんともわからないです。

「このひとを採用して、今現在いる社員とうまく仕事一緒にやっていけそうかどうか」も、重要で、しかも
けっこうタイミングガチャな部分がありますし。
あーこの人、いいんだけど、あのお局さんとは衝突してしまうかも、とか、
あーこの人、いいんだけど、この人の上司がアノ課長になったらトラブルに厳しいぼんくら上司だからよけいに周りの仕事が増えそう、とかとか。

あと、不安要素がある人は、どうしても、採用されにくくなるかも。
本人の持病があったり、小さい子いたり、で、急な休みが多くなるかもとか。

前職を辞める理由が、雇用期間満了とかなら、次も決まりやすい気がするけれども。
面接の練習や、一問一答での練習は、しました？

まさかとは思いますが、「前の会社は給料がよくて有給休暇取れてといった福利厚生がよかったので、８年半、必死にがんばりました！」みたいなことは、面接で言っちゃダメですよ。

私は貴社に、コレコレこのように貢献できます。
という部分をアピールしたら、採用になるかもです。

良いご縁があるといいですね。